RESPUESTAS METODOS NUMERICOS UNIDAD 2

1
Puntos: 1
Es importante distinguir desde el principio la diferencia entre exactitud y precisión:
  1. Exactitud es el grado en el cual la información de un mapa o en una base de datos digital se muestra verdadera o con valores aceptables. La exactitud es un asunto perteneciente a la cualidad de los datos y al número de errores contenidos en un conjunto de datos o mapa. Analizando una base de datos de un SIG, es posible considerar la exactitud horizontal y vertical con respecto a la posición geográfica, tanto atributiva y conceptual, como en la agudeza lógica.
    • El nivel de exactitud requerido puede variar enormemente de unos casos a otros.
    • Producir y compilar una gran exactitud en los datos puede ser muy difícil y costoso.
  2. Precisión hace referencia a la medida y exactitud de las descripciones en las base de datos de un SIG. Los atributos de información precisos pueden especificar la características de los elementos con gran detalle. Es importante observar, no obstante, que los datos precisos - no importando el cuidado en su medida - pueden ser inexactos. Los topógrafos pueden cometer errores, o bien los datos pueden ser introducidos en las bases de datos incorrectamente.
    • El nivel de precisión requerido puede variar enormemente de unos casos a otros. Los proyectos de ingeniería como el de una carretera, y las herramientas de construcción, requieren una muy precisa medida, de milímetros a decenas de centímetros. Análisis demográficos de las tendencias del electorado pueden prescindir de esta precisión mediante un código postal o de circunscripción.
    • Obtener datos altamente precisos puede ser verdaderamente difícil y costoso. Topografiar cuidadosamente las localizaciones requiere de compañías específicas para la recogida de la información.
Tomado de
  • www.uam.es/geoteca/articulos/error/Esp/Error,%20Exactitud%20y%20Precision.htm
    Segun la lectura para obtener datos altamente precisos puede ser:
  • Seleccione una respuesta.
    Correcto
    Puntos para este envío: 1/1.
    Question2
    Puntos: 1
    INTERPOLACIÓN
    (tomado de Métodos Numéricos de Antonio Nieves)
    En el capítulo 2 de la unidad 2 estudiaremos la aproximación de funciones disponibles en forma directa (puntos tabulados), con funciones analíticas sencillas, o bien de aproximación de funciones cuya complicada naturaleza exija un reemplazo por funciones más simples.
    La enorme ventaja de aproximar información discreta o funciones complejas, con funciones analíticas sencillas, radica en su mayor facilidad de evaluación y manipulación, situación necesaria en el campo de la ingeniería.
    Las funciones de aproximación se obtienen por combinaciones lineales de elementos de familias de funciones denominadas elementales. En general tendrán la forma:
    a0g0(x) + a1g1(x) + …+angn(x) ,
    donde ai , con i ? i ? n , son constantes por determinar gi(x) funciones de una familia particular. Los monomios en x (x0, x1, x2,…) constituyen la familia o grupo más empleado; sus combinaciones generan aproximaciones del tipo polinomial
    a0 + a1x + a2x2 +…+ anxn
    Además del polinomial existen otros grupos como el exponencial y el grupo de las funciones de Fourier. Y son lo más comunes por su facilidad de manejo en evaluaciones, integraciones, derivaciones, etc.
    Una de las técnicas que nos permite aproximar a un polinomio una serie de puntos, es el conocido como método de mínimos cuadrados, que en métodos numéricos esta detallado como ajuste de curvas, por su ajuste exacto. Y su modo de ajuste consiste en encontrar una función polinomial que pase por los puntos dados y que satisfaga la condición de minimizar la suma de sus desviaciones elevadas al cuadrado.
    Una vez obtenido el polinomio de aproximación, este se puede usar para obtener otros puntos adicionales a los existentes, mediante una evaluación conocida como interpolación.
    Los puntos más relevantes de este capítulo, las cuales estudiaremos y estará sentado en la lección evaluativa son la Interpolación como concepto, Los polinomios de Lagrange, las diferencias divididas, la aproximación polinomial de Newton, el método de mínimos cuadrados (como ajuste de Curvas) y algunos conceptos de la transformada de Fourier.

    Polinomios de interpolación de Lagrange
    Un polinomio de interpolación de Lagrange, p se define en la forma:

    INTER 1(68)

    en donde l0, l1,…, ln son polinomios que dependen sólo de los nodos tabulados x0, x1,…,xn, pero no de las ordenadas y0, y1,…,yn. La fórmula general del polinomio li(x) es:

    INTER2 (69)

    Para el conjunto de nodos x0, x1,…,xn, estos polinomios son conocidos como funciones cardinales. Utilizando estos polinomios en la ecuación ( 68 ) obtenemos la forma exacta del polinomio de interpolación de Lagrange.
    Ejemplo : Suponga la siguiente tabla de datos:
    INTER3
    Construya las funciones cardinales para el conjunto de nodos dado y el polinomio de interpolación de Lagrange correspondiente.
    Las funciones cardinales, empleando la expresión ( 69 ), resultan ser:
    INTER4
    El polinomio de interpolación de Lagrange es:
    p3(x) = l0(x)-23l1(x)-54l2(x)-954l3(x)
    PREGUNTA:
    3
    Seleccione una respuesta.
    Correcto
    Puntos para este envío: 1/1.
    Question3
    Puntos: 1
    Ajuste de curvas
    El ajuste de curvas consiste en encontrar una curva que contenga una serie de puntos y que posiblemente cumpla una serie de restricciones adicionales. Esta sección es una introducción tanto a la interpolación (cuando se espera un ajuste exacto a determinadas restricciones) y al ajuste de curvas/ análisis de regresión (cuando se permite una aproximación).
    Ajuste de líneas y curvas polinómicas a puntos
    Empecemos con una ecuación polinómica de primer grado:
    y= ax + b
    Esta línea tiene pendiente a. Sabemos que habrá una línea conectando dos puntos cualesquiera. Por tanto, una ecuación polinómica de primer grado es un ajuste perfecto entre dos puntos.
    Si aumentamos el orden de la ecuación a la de un polinomio de segundo grado, obtenemos:
    y = ax2 + bx + c
    Esto se ajustará exactamente a tres puntos. Si aumentamos el orden de la ecuación a la de un polinomio de tercer grado, obtenemos:
    y = ax3 + bx2 + cx + d
    que se ajustará a cuatro puntos.
    Una forma más general de decirlo es que se ajustará exactamente a cuatro restricciones. Cada restricción puede ser un punto, un ánguloo una curvatura (que es el recíproco del radio, o (1/R). Las restricciones de ángulo y curvatura se suelen añadir a los extremos de una curva, y en tales casos se les llama condiciones finales. A menudo se usan condiciones finales idénticas para asegurar una transición suave entre curvas polinómicas contenidas en una única spline . También se pueden añadir restricciones de orden alto, como "el cambio en la tasa de curvatura". Esto, por ejemplo, sería útil en diseños de intercambios en trébol para incorporaciones a autopistas, para entender las fuerzas a las que somete a un vehículo y poder establecer límites razonables de velocidad.
    Si tenemos más de n + 1 restricciones (siendo n el grado del polinomio), aún podemos hacer pasar la curva polinómica por ellas. No es seguro que vaya a existir un ajuste exacto a todas ellas (pero podría suceder, por ejemplo, en el caso de un polinomio de primer grado que se ajusta a tres puntos colineales ). En general, sin embargo, se necesita algún método para evaluar cada aproximación. El método demínimos cuadrados es una manera de comparar las desviaciones.
    Ahora bien, podríamos preguntarnos la razón de querer un ajuste aproximado cuando podríamos simplemente aumentar el grado de la ecuación polinómica para obtener un ajuste exacto. Existen varias:
    • Incluso si existe un ajuste exacto, no quiere decir necesariamente que podamos encontrarlo. Dependiendo del algoritmo que se use, podríamos encontrar un caso divergente, donde no se podría calcular el ajuste exacto, o el coste computacional de encontrar la solución podría ser muy alto. De cualquier modo, tendríamos que acabar aceptando una solución aproximada. 
    • Quizá prefiramos el efecto de promediar datos cuestionables en una muestra, en lugar de distorsionar la curva para que se ajuste a ellos de forma exacta. 
    • Los polinomios de orden superior pueden oscilar mucho. Si hacemos pasar una curva por los puntos A y B, esperaríamos que la curva pase también cerca del punto medio entre A y B. Esto puede no suceder con curvas polinómicas de grados altos, ya que pueden tener valores de magnitud positiva o negativa muy grande. Con polinomios de grado bajo existen más posibilidades de que la curva pase cerca del punto medio (y queda garantizado que pasará exactamente por ahí, en los de primer grado). 
    • Los polinomios de orden bajo tienden a ser suaves y las curvas de los polinomios de orden alto tienden a ser "bulbosas". Para definir esto con más precisión, el número máximo de puntos de inflexión de una curva polinómica es n-2, donde n es el orden de la ecuación polinómica. Un punto de inflexión es el lugar de una curva donde cambia de radio positivo a negativo. Obsérvese que la "bulbosidad" de los polinomios de orden alto es sólo una posibilidad, ya que también pueden ser suaves, pero no existen garantías, al contrario que sucede con los polinomios de orden bajo. Un polinomio de grado quince podría tener, como máximo, trece puntos de inflexión, pero podría tener también doce, once, o cualquier número hasta cero. 
    Ahora que hemos hablado del uso de grados demasiado bajos para conseguir un ajuste exacto, comentemos qué sucede si el grado de una curva polinómica es mayor del necesario para dicho ajuste. Esto es malo por las razones comentadas anteriormente si los polinomios son de orden alto, pero también nos lleva a un caso en que exista un número infinito de soluciones. Por ejemplo, un polinomio de primer grado (una línea) restringido por un único punto, en lugar de los dos habituales, nos dará un número infinito de soluciones. Esto nos trae el problema de cómo comparar y escoger una solución única, lo que puede ser un problema tanto para humanos como para el software. Por esta razón es mejor escoger el polinomio de menor grado posible para obtener un ajuste exacto en todas las restricciones, y quizá incluso un grado menor si es aceptable una aproximación al ajuste.
    Para más información, véase el artículo sobre interpolación polinómica .
    PREGUNTA:
    Teniendo en cuenta la lectura entonces: "Un polinomio de grado quince podría tener, como máximo":

    Seleccione una respuesta.
    Correcto
    Puntos para este envío: 1/1.
    Question4
    Puntos: 1
    En el caso de tres puntos (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2), en principio se busca el polinomio de interpolación de:
    Seleccione una respuesta.
    Correcto
    Puntos para este envío: 1/1.
    Question5
    Puntos: 1
    Interpolación por diferencias divididas de Newton
    El caso más sencillo se presenta cuando queremos interpolar dos puntos, (x0, y0)(x1, y1), obteniéndose la muy conocida función lineal que une dos puntos:
    divididas 1
    Si los puntos pertenecen a la gráfica de una función f(x), la pendiente divididas 2 , que tiene una forma de diferencias divididas, representa una aproximación muy global de la primera derivada de f(x), con x variando en el intervalo [x0, x1].
    En el caso de tres puntos (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2), en principio se busca el polinomio de interpolación de grado dos de la forma
    P(x) = b0 + b1(x – x0) + b2(x – x0)(x – x1)

    Al evaluar el polinomio en cada uno de los tres puntos y despejando b1, b2, y b3, se obtiene:
    divididas 3
    Una forma sencilla de hacer los cálculos anteriores es determinando sucesivamente las entradas de un arreglo triangular:
    divididas 4
    Donde f[xi] = yi para i = 0, 1, 2. En la diagonal de este arreglo triangular aparecen los valores b0, b1 y b2.
    A manera de ejemplo con una cantidad mayor de puntos, determinemos por el método de diferencias divididas de Newton el polinomio interpolante que pasa por los puntos (1, 4), (3, 1), (4.5, 5) y (7,3). El arreglo triangular en este caso toma la forma específica:
    divididas 5
    Se concluye entonces que
    PREGUNTA:
    Teniendo en cuenta el ejemplo para visualizar el método de Interpolación de Diferencias Divididas de Newton, se halló que los coeficientes de x y x3 son:
    Seleccione una respuesta.
    Correcto
    Puntos para este envío: 1/1.
    Question6
    Puntos: 1
    Una de las técnicas que nos permite aproximar a un polinomio una serie de puntos, es el conocido como método de mínimos cuadrados, que en métodos numéricos esta detallado como:
    Seleccione una respuesta.
    Correcto
    Puntos para este envío: 1/1.

    1
    Puntos: 1
    Interpolación Cuadrática
    Si se dispone de tres puntos la busqueda de una funcion se puede llevar a cabo con un polinomio de segundo orden (llamado tambiénpolinomio cuadrático o parábola). Una manera conveniente para este caso es:
    f(x) = b0 + b1 (x – x0) + b2 (x – x0) (x – x1(1)
    Nótese que aunque la ecuación (1) parezca diferente de la ecuación general de un polinomio lineal, las dos ecuaciones son equivalentes.
    Esto se puede demostrar si se multiplican en forma distributiva los términos de la ecuación (1) y obtenemos:
    f(x) = b2 x2 + (b1 – b2 x0 – b2 x1) x + (b0 – b1 x0 + b2 x0 x1(2)
    que si se agrupan los términos se tiene:
    f(x) = a2 x2 + a1 x + a0 (3)
    en donde:
    a2 = b2
    a1 = b1 – b2 x0 – b2 x1 (4)
    a0 = b0 – b1 x0 + b2 x0 x1
    De esta manera, las ecuación (1) es una fórmula alternativa que equivale al polinomio de segundo grado que une a los tres puntos.
    Se puede usar un procedimiento simple para determinar los valores de los coeficientes. Para b0, se usa la ecuación (1) con X = X0, y se obtiene
    b0 = f(x0) (5)
    sustituyendo la ecuación (5) en la ecuación (1) y evaluando en X =X 1 se obtiene:
    1 (6)
    Y por último, las ecuaciones (5) y (6) se sustituyen en la ecuación (1), y se evalúa ésta en X = X2 y se obtiene:
    <>2
    (7)
    Nótese que, al igual que en el caso de interpolación lineal, b1 aún representa la pendiente de la línea que une los puntos X0 y X1. Por lo tanto, los primeros dos términos de la ecuación (1) son equivalentes a la interpolación de X0 a X1El último término, b2(X-X0)(X-X1), introduce la curvatura de segundo orden en la fórmula.
    Ejemplo:
    Ajústese el polinomio de segundo orden a los siguientes tres puntos
    X0 = 1
    f (X0) = 0.0000 000
    X1 = 4
    f (X1) = 1.3862 944
    X2 = 6
    f (X2) = 1.7917 595
    SOLUCIÓN :
    Entonces
    b0 = 0
    Luego:
    Y :3

    Sustituyendo estos valores en la ecuación de interpolación y se obtiene la fórmula cuadrática:
    f2 ( X ) = 0 + 0.4620981 (X - 1) - 0.05187312 (X - 1) (X - 4)
    si se quiere evaluar en X = 2 , se obtiene
    2 ( 2 ) = 0.5658443
    4
    PREGUNTA:
    Una de las principales razones para incluir el método de Gauss-Jordan, es la de proporcionar: .
    Seleccione una respuesta.
    Correcto
    Puntos para este envío: 1/1.
    Question2
    Puntos: 1
    De acuerdo al texto Ecuaciones Lineales en la ecuación 12x = 2x +10. Con cual de los siguientes el valores de x, se cumple la igualdad.

    Seleccione una respuesta.
    Correcto
    Puntos para este envío: 1/1.
    Question3
    Puntos: 1
    El polinomio que se obtiene al usar el método de Diferencias Divididas de Newton con los siguientes datos:
    f(x) 
    -4 
    -1 
    es:
    Seleccione una respuesta.
    Correcto
    Puntos para este envío: 1/1.
    Question4
    Puntos: 1
    Un valor de una variable que haga que la ecuación sea una proposición verdadera se denomina raíz o solución de la ecuación dada. Decimos que tal valor de la variable satisface la ecuación.
    Así por ejemplo x=5 es una raíz de la ecuación 2x – 3 = x + 2
    De manera similar y = -2 es la solución de la ecuacióny^2+3y =6+4y
    En álgebra elemental se enseña a resolver este tipo de ecuaciones en especial las ecuaciones lineales y cuadráticas.

    La solución de la siguiente ecuación 3(x-3)^2 =(3x-10)+7es: 

    Seleccione una respuesta.
    Correcto
    Puntos para este envío: 1/1.
    Question5
    Puntos: 1
    Dados n+1 datos:
    Difer1
    - El polinomio de interpolación de Newton se define de la siguiente manera:
    f(x) = b0+b1(x-x0)+b2(x-x0)(x-x1)+…+bn(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)
    donde:
    b0=f(x0)
    b1=f [x1, x0]
    b2=f [x2, x1, x0]
    .
    .
    .
    b= f [xn,…, x0]
    Para calcular los coeficientes b0, b1,…, bn, es conveniente construir una tabla de diferencias divididas como la siguiente:
    difer2
    Obsérvese que los coeficientes del polinomio de interpolación de Newton, se encuentran en la parte superior de la tabla de diferencias divididas.
    Ejemplo 1 . Calcular la tabla de diferencias divididas finitas con los siguientes datos:
    difer3
    Y utilizar la información de dicha tabla, para construir el polinomio de interpolación de Newton.
    Solución .
    Procedemos como sigue:
    difer4
    Por lo tanto el polinomio de interpolación de Newton es:
    f(x) = 4+2(x+2)-0.25(x+2)(x+1)-0.3(x+2)(x+1)(x-2)
    Ejemplo 2. Calcular la tabla de diferencias divididas finitas con los siguientes datos:
    difer5
    Y usar la información en la tabla, para construir el polinomio de interpolación de Newton.

    Solución. Procedemos como sigue:
    difer6
    Por lo tanto el polinomio de interpolación de Newton nos queda:
    f(x) = 5+3(x+3) – 1.66667(x+3)(x+2) - 020238(x+3)(x+2)(x)
    PREGUNTA:
    Teniendo en cuenta el ejemplo 1 , se observa que se encuentra una función o polinomio, de acuerdo a ello, el coeficiente del x^3de la función encontrada es:
    Seleccione una respuesta.
    Incorrecto
    Puntos para este envío: 0/1.
    Question6
    Puntos: 1
    Que valor de xhacen que se cumpla la igualdad.

    2x – 3 – 9 = x
    Seleccione una respuesta.
    Correcto
    Puntos para este envío: 1/1.
    Question7
    Puntos: 1
    De acuerdo al texto Ecuaciones Lineales en la ecuación 7x = 2x +10. Con cual de los siguientes el valores de x, se cumple la igualdad.

    Seleccione una respuesta.
    Correcto
    Puntos para este envío: 1/1.
    Question8
    Puntos: 1
    Para números sin coma decimal, los ceros posteriores a la última cifra distinta de cero pueden o no considerarse significativos. Así, para el número 70 podríamos considerar una o dos cifras significativas. Esta ambigüedad se evita utilizando la notación científica. como por ejemplo: 7 x 10^2tiene una cifra significativa. De acuerdo al texto es correcto afirmar
    Seleccione una respuesta.
    Correcto
    Puntos para este envío: 1/1.
    Question9
    Puntos: 1
    La interpolación de un polinomio de grado 2 se debe expresar mediante la expresión:
    Seleccione una respuesta.
    Correcto
    Puntos para este envío: 1/1.
    Question10
    Puntos: 1
    Teniendo en cuenta el método de Gauss-Seidel para una matriz dada tenemos la siguiente ecuación: \begin{align*} X_{1} &amp;=\frac{7,45+0,4X_{2}+0,3X_{3}}{3} \end{align*}
    Si se asume que x2y x3 son iguales a uno el resultado de x1 es aproximadamente igual a:
    Seleccione una respuesta.
    Correcto
    Puntos para este envío: 1/1.

    1
    Puntos: 1
    Este es uno de los métodos más interesantes del análisis numérico y particularmente útil ya que nos permite encontrar la solución de un sistema de “n” ecuaciones con “n” incógnitas.
    Seleccione una respuesta.
    Correcto
    Puntos para este envío: 1/1.
    Question2
    Puntos: 1
    En la ecuación y=30 es una funciòn:
    Seleccione una respuesta.
    Correcto
    Puntos para este envío: 1/1.
    Question3
    Puntos: 1
    La solución de siguiente sistema 3x - 4y = -7
    x + 2y = 11
    utilizando la eliminación de Gauss es:
    Seleccione una respuesta.
    Correcto
    Puntos para este envío: 1/1.
    Question4
    Puntos: 1
    Es simplemente una reformulación del polinomio de Newton que evita los cálculos de las diferencias divididas 
    Seleccione una respuesta.
    Correcto
    Puntos para este envío: 1/1.
    Question5
    Puntos: 1
    Se puede asegurar que toda matriz cuadrada tiene inversa:
    Seleccione una respuesta.
    Correcto
    Puntos para este envío: 1/1.
    Question6
    Puntos: 1
    Para la solución de un sistema de ecuaciones lineales se conocen dos técnicas o métodos para su resolución, uno de estos es:
    Seleccione una respuesta.
    Correcto
    Puntos para este envío: 1/1.
    Question7
    Puntos: 1
    En la ecuación y=(COSx) -5 es una funciòn:
    Seleccione una respuesta.
    Incorrecto
    Puntos para este envío: 0/1.
    Question8
    Puntos: 1
    En la ecuación y=3x-5 es una funciòn:
    Seleccione una respuesta.
    Correcto
    Puntos para este envío: 1/1.
    Question9
    Puntos: 1
    El polinomio de interpolación de Lagrange, simplemente es una reformulación del polinomio de Newton que evita:
    Seleccione una respuesta.
    Correcto
    Puntos para este envío: 1/1.
    Question10
    Puntos: 1
    Es la fórmula más simple de interpolación la cual se utiliza para conectar dos puntos con una linea recta
    Seleccione una respuesta.
    Correcto
    Puntos para este envío: 1/1.
    Question11
    Puntos: 1
    Para las siguientes matrices imagen1 el producto AB es igual
    Seleccione al menos una respuesta.
    Correcto
    Puntos para este envío: 1/1.
    Question12
    Puntos: 1
    Con la siguiente tabla:
           
    xi
    0
    1
    3
    6
    f(xi)
    -3
    0
    5
    7
    Obtenemos la aproximación polinomial de Lagrange con todos los puntos, entonces, el coeficiente que acompaña la variable x2 de la función polinomial es:
    Seleccione una respuesta.
    Correcto
    Puntos para este envío: 1/1.
    Question13
    Puntos: 1
    Si se dispone de tres puntos la interpolacion se puede llevar a cabo con un polinomio
    Seleccione una respuesta.
    Correcto
    Puntos para este envío: 1/1.
    Question14
    Puntos: 1
    El polinòmio de interpolaciòn f (x)= b0+b1(x- x0)+b2(x- x0)(x – x1)+b3(x- x0)(x – x1)(x-x2es de:
    Seleccione una respuesta.
    Correcto
    Puntos para este envío: 1/1.
    Question15
    Puntos: 1
    El método de Gauss-Jordanque constituye una variación del método de eliminación de Gauss, permite resolver las ecuaciones hasta:
    Seleccione una respuesta.
    Correcto
    Puntos para este envío: 1/1.

    No hay comentarios.:

    Publicar un comentario

    Déjanos un comentario positivo o corrigiendo alguna respuesta de este examen