MÉTODOS NUMÉRICOS RESPUESTAS UNIDAD 3

1
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La regla de Simpson de 3/8 de manera similar a la derivación de la regla trapezoidal y a la regla de Simpson de 1/3, se ajustan polinomios de Lagrange de:
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Question2
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La extrapolación a orden uno R(n,2) es equivalente a:
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Question3
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En la diferenciación numérica, las expresiones de diferencias hacia adelante se utilizan cuando: no se dispone de datos a la izquierda del punto en que se desea calcular la derivada, y las expresiones de diferencias hacia atrás, se utilizan cuando no se dispone de datos a la derecha del punto deseado. Sin embargo, las expresiones de diferencias centrales son más precisas que cualquiera de las otras dos
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Question4
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Métodos de Runge-Kutta Los Runge-Kutta no es solo un método sino una importante familia de métodos iterativos tanto implícitos como explícitos para aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O´s), estas técnicas fueron desarrolladas alrededor de 1900 por los matemáticos alemanes Carl David Tolmé Runge y Martin Wilhelm Kutta
El clásico método Runge-Kutta de cuarto orden

Un miembro de la familia de los métodos Runge-Kutta es usado tan comúnmente que a menudo es referenciado como “RK4” o como “el método Runge-Kutta”.
Definamos un problema de valor inicial como:
y’ = f(t,y), y(t0) = y0

Entonces el método RK4 para este problema está dado por la siguiente ecuación:
rung5
Así, el siguiente valor (yn+1) es determinado por el presente valor yn mas el producto del tamaño del intervalo ( h ) por una pendiente estimada. La pendiente es un promedio ponderado de pendientes:
k1 es la pendiente al principio del intervalo;
k2 es la pendiente en el punto medio del intervalo, usando k1 para determinar el valor de y en el punto tn + h/2 usando el método de Euler
k3 es otra vez la pendiente del punto medio, pero ahora usando k2 para determinar el valor de y
k4 es la pendiente al final del intervalo, con el valor de y determinado por k3
Promediando las cuatro pendientes, se le asigna mayor peso a las pendientes en el punto medio:
rung3
El método RK4 es un método de cuarto orden lo cual significa que el error por paso es del orden de h5, mientras que el error total acumulado tiene el orden h4
PREGUNTA:
El método RK4 es un método de cuarto orden lo cual significa que el error por paso es del orden de h5, mientras que el error total acumulado tiene el orden
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Question5
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REGLAS DE SIMPSON.
Además de aplicar la regla trapezoidal con segmentos cada vez más finos, otra manera de obtener una estimación más exacta de una integral, es la de usar polinomios de orden superior para conectar los puntos.
A las fórmulas resultantes de calcular la integral bajo estos polinomios se les llama reglas de Simpson.
REGLA DE SIMPSON DE 1/3.
La regla de Simpson de 1/3 resulta cuando se sustituye un polinomio de segundo orden en la ecuación:
simp 1
Si a y b se denominan como x0 y x2, y f2 (x) se representa mediante un polinomio de Lagrange de segundo orden, entonces la integral es:
Después de integrar y de reordenar términos, resulta la siguiente ecuación:
simp3
REGLA DE SIMPSON 1/3 DE SEGMENTOS MULTIPLES.
Así­ como la regla trapezoidal, la regla de Simpson se mejora dividiendo el intervalo de integración en segmentos de igual anchura.
h=(b-a)/n
La integral total se representa como:
simp4
Sustituyendo la regla de Simpson en cada una de las integrales individuales se obtiene:
reordenando los términos, se obtiene:
REGLA DE SIMPSON DE 3/8.
De manera similar a la derivación de la regla trapezoidal y a la regla de Simpson de 1/3, se ajustan polinomios de Lagrange de tercer orden a cuatro puntos a integrar;
simp7
para obtener
simp8
En donde h=(b-a)/3. A esta ecuación se le llama regla de Simpson de 3/8 porque h es un múltiplo de 3/8. Esta es la tercera regla cerrada de integración de Newton-Cotes. 
REGLA DE SIMPSON 3/8 MULTIPLES.
La regla de Simpson de 1/3 es, en general, el método de preferencia ya que alcanza exactitud de tercer orden con tres puntos en vez de los de cuatro puntos necesarios para la versión de 3/8.
No obstante, la regla de 3/8 tiene utilidad en aplicaciones de segmentos múltiples cuando el número de segmentos es impar.
Para una estimación de cinco segmentos una alternativa es la de aplicar la regla de Simpson de 1/3 a los primeros segmentos y la regla de Simpson de 3/8 a los últimos tres.
De esta manera, se obtiene una estimación con exactitud de tercer orden a través del intervalo completo
PREGUNTA:
Teniendo en cuenta la lectura anterior se conoce que:
La regla de Simpson 1/3 de segmentos múltiples, así­ como la regla trapezoidal, la regla de Simpson se mejora dividiendo el intervalo de integración en segmentos de igual:
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Question6
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INTEGRACIÓN NUMÉRICA
INTRODUCCIÓN
En ingeniería se presenta con frecuencia la necesidad de integrar una función que sería, en general, de una de las tres formas siguientes:
  1. Una función simple y continua tal como un polinomio, una función exponencial o una función trigonométrica.
  2. Una función complicada y continua que es difícil o imposible de integrar directamente.
  3. Una función tabulada en donde los valores de X y f(X) se dan en un conjunto de puntos discretos, como es el caso a menudo, de datos experimentales.
En el primer caso, la integral simplemente es una función que se puede evaluar fácilmente usando métodos analíticos aprendidos en el cálculo. En los dos últimos casos, sin embargo, se deben emplear métodos aproximados.
Las fórmulas de integración de Newton-Cotes son los esquemas más comunes dentro de la integración numérica. Se basan en la estrategia de reemplazar una función complicada o un conjunto de datos tabulares con alguna función aproximada que sea más fácil de integrar.
La integral se puede aproximar usando una serie de polinomios aplicados por partes a la función o a los datos sobre intervalos de longitud constante.
Se dispone de las formas abierta y cerrada de las fórmulas de Newton-Cotes. Las formas cerradas son aquellas en donde los puntos al principio y al final de los límites de integración se conocen. Las fórmulas abiertas tienen los límites de integración extendidos más allá del rango de los datos. Las fórmulas abiertas de Newton-Cotes, en general, no se usan en la integración definida. Sin embargo, se usan extensamente en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias.
REGLA DEL TRAPECIO
La regla del trapecio o regla trapezoidal es una de las fórmulas cerradas de Newton-Cotes.
Considérese la función f(X), cuya gráfica entre los extremos X = a y X = b se muestra en la fig. 1. Una aproximación suficiente al área bajo la curva se obtiene dividiéndola en n fajas de ancho ?X y aproximando el área de cada faja mediante un trapecio, como se indica en la figura.
int 1
Fig. 1
Llamando a las ordenadas Yi (i = 1, 2, 3,..., n+1), las áreas de los trapecios son:
Int 2
El área total comprendida entre X = a y X = b está dada por:
int3
Sustituyendo las ecuaciones. (1) en esta expresión se obtiene:
int 4
La cual recibe el nombre de Fórmula Trapezoidal, y se puede expresar como:
int 5
En esencia, la técnica consiste en dividir el intervalo total en intervalos pequeños y aproximar la curva Y = f(X) en los diversos intervalos pequeños mediante alguna curva más simple cuya integral puede calcularse utilizando solamente las ordenadas de los puntos extremos de los intervalos.
PREGUNTA:
La integral \frac{dx}{dy}(\int_{-1}^{2}e^{x+1} dx)
es igual a
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1
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MÉTODO DE EULER
La idea del método de Euler es muy sencilla y está basada en el significado geométrico de la derivada de una función en un punto dado.
Supongamos que tuviéramos la curva solución de la ecuación diferencial y trazamos la recta tangente a la curva en el punto dado por la condición inicial.
eu1
Debido a que la recta tangente aproxima a la curva en valores cercanos al punto de tangencia, podemos tomar el valor de la recta tangente en el punto x1 como una aproximación al valor deseado y(x1).
eu2
Así, calculemos la ecuación de la recta tangente a la curva solución de la ecuación diferencial dada en el punto (x0,y0). De los cursos de Geometría Analítica, sabemos que la ecuación de la recta es:
y=m(x-x0)+y0
donde m es la pendiente. En este caso, sabemos que la pendiente de la recta tangente se calcula con la derivada:
eu2a
Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente es:
y = f(x0,y0)(x-x0)+y0
Ahora bien, suponemos que x1 es un punto cercano a x0, y por lo tanto estará dado como x1= x0 + h. De esta forma, tenemos la siguiente aproximación:
eu3
De aquí, tenemos nuestra fórmula de aproximación:
y(x0 + h) = y0 + hf(x0,y0)
Esta aproximación puede ser suficientemente buena, si el valor de h es realmente pequeño, digamos de una décima ó menos. Pero si el valor de h es más grande, entonces podemos cometer mucho error al aplicar dicha fórmula. Una forma de reducir el error y obtener de hecho un método iterativo, es dividir la distancia h= x1 – x0 en n partes iguales (procurando que estas partes sean de longitud suficientemente pequeña) y obtener entonces la aproximación en n pasos, aplicando la fórmula anterior n veces de un paso a otro, con la nueva h igual a eu4 .
En una gráfica, tenemos lo siguiente:
eu5
Ahora bien, sabemos que:
y1 = y0 + hf(x0,y0)
Para obtener y2 únicamente hay que pensar que ahora el papel de (x0,y0) lo toma el punto (x1,y1), y por lo tanto, si sustituimos los datos adecuadamente, obtendremos que:
y2 = y1 + hf(x1, y1)
De aquí se ve claramente que la fórmula recursiva general, está dada por:
n+1 = yn + hf(xn,yn)
Esta es la conocida fórmula de Euler que se usa para aproximar el valor de y(x1) aplicándola sucesivamente desde x0 hasta x1 en pasos de longitud h.
Ejemplo 1Dada la siguiente ecuación diferencial con la condición inicial:
y’ = 2xy
y (0) = 1
Aproximar y(0,5).
NOTA
Primero observamos que esta ecuación sí puede resolverse por métodos tradicionales de ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, podemos aplicar el método de separación de variables. Veamos las dos soluciones.
Solución Analítica .
eu6
Sustituyendo la condición inicial:
x = 0 ? y = 1
ln 1 = 02 + c entonces
0 = c
Por lo tanto, tenemos que la curva solución real está dada:
eu7
Y por lo tanto, el valor real que se pide es:
eu8
Solución Numérica
Aplicamos el método de Euler y para ello, observamos que la distancia entre x0 = 0 y x1 = 0,5 no es lo suficientemente pequeña. Si dividimos esta distancia entre cinco obtenemos un valor de h = 0,1 y por lo tanto, obtendremos la aproximación deseada en cinco pasos.
De esta forma, tenemos los siguientes datos:
eu9
Sustituyendo estos datos en la formula de Euler, tenemos, en un primer paso:
eu10
Aplicando nuevamente la formula de Euler, tenemos, en un segundo paso:
eu11
Y así sucesivamente hasta obtener y5. Resumimos los resultados en la siguiente tabla:
n
xn
yn
0
0
1
1
0.1
1
2
0.2
1.02
3
0.3
1.0608
4
0.4
1.12445
5
0.5
1.2144
Concluimos que el valor aproximado, usando el método de Euler es:
y(0,5) = 1,2144
Puesto que en este caso, conocemos el valor verdadero, podemos usarlo para calcular el error relativo porcentual que se cometió al aplicar la formula de Euler. Tenemos que:
eu12 Ejemplo 2 
Aplicar el método de Euler para aproximar y(1,3), dada la ecuación diferencial.
y’ = x2 + 0,5y2 si se tiene que y(1) = 2
Solución 
Nuevamente vemos que nos conviene dividir en pasos la aproximación. Así, elegimos nuevamente h =0,1 para obtener el resultado final en tres pasos. Por lo tanto, aplicamos el método de Euler con los siguientes datos:
eu13
En un primer paso, tenemos que:
eu14
Resumimos los resultados en la siguiente tabla:
n

0
1
2
1
1.1
2.3
2
1.2
2.6855
3
1.3
3.1901
De lo cual, concluimos que la aproximación buscada es:
y(1,3) = 3,1901
PREGUNTA:
La fórmula de aproximación:
y (x0 + h)= y0 + h f(x0, y0)
por el método de Euler puede ser suficientemente buena, si el valor de h es:
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Question2
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Método Multipasos.
Los métodos de Euler y Runge-Kutta descritos anteriormente son ejemplos de métodos de un paso. En ellos, se calcula cada valor sucesivoyn+1 solo con base en la información acerca del valor inmediato anterior yn. Por otra parte, un método de varios pasos o continuo utiliza valores de varios pasos calculados con anterioridad para obtener el valor de yn+1. Existen numerosas formulas aplicables en la formulación de soluciones de ecuaciones diferenciales. Como no se pretende describir el extenso campo de los procedimientos numéricos únicamente se presentara uno de estos métodos.
Método de Adams-Basforth/Adams-Moulton de Cuarto Orden.
Este es uno de los métodos más populares. En este método, la predicción es la fórmula de Adams-Basforth:
mult1
para n?3.
Luego de lo anterior se sustituye el valor de m en la corrección de Adams-Moulton
m2
Obsérvese que la formula (1) requiere que se conozca los valores de y0, y1, y2 y3 para obtener el y4 . Por supuesto, que el valor de y0es la condición inicial dada. Como el error local de truncamiento en el método de Adams-Basforth/Adams-Moulton es O (h5), los valores de y1, y2 y3 se suelen calcular con un método que tenga la misma propiedad de error, como la formula de Runge-Kutta de cuarto orden.
Ejemplo.
Use el método Adams-Basforth/Adams-Moulton con h=0,2 para llegar a una aproximación a y (0,8) de la solución de:
y’ = x+y-1, y(0)=1
Solución:
Dado el tamaño de paso es h=0,2, entonces y4 aproximara y (0,8). Para comenzar aplicamos el método de Runge-Kutta, con x= 1, y0 = 1 y h = 0,2 con lo cual,
y1= 1,02140000, y2 = 1,09181796, y3 = 1,22210646.
Ahora definimos x0 = 0; x1 = 0,2; x2 = 0,4; x3 = 0,6 f(x, y) = x + y -1, y obtenemos
m3
Con los valores anteriores, la predicción, ecuación (1) da:
m4
Para usar la corrección, ecuación (2), necesitamos primero:
m5
Si comprobamos el valor exacto de y (0,8) se obtiene que y (0,8) = 1,42554093
Ventajas y Desventajas de los métodos multipasos.
En la selección de un método para resolver numéricamente una ecuación diferencial intervienen muchos aspectos. Los métodos usados de un paso (en especial el de Runge-Kutta) suelen usarse por su exactitud y facilidad de programación; sin embargo, una de las mayores desventajas es que el lado derecho de la ecuación diferencial debe evaluarse muchas en cada etapa. Por ejemplo, para el método de Runge-Kutta de cuarto orden se necesitan cuatro evaluaciones de función en cada paso. Por otra parte, si se han calculado y guardado las evaluaciones de función en la etapa anterior, con un método de multipasos solo se necesita una sola evaluación de función por paso. Esto puede originar grandes ahorros de tiempo y costo
Otro asunto que interviene en los métodos de multipasos es la cantidad de veces que se debe repetir la de Adams-Moulton en cada paso. Cada que se usa el corrector ocurre otra evaluación de función, con lo cual aumenta la precisión al costo de perder una de las ventajas del método de varios pasos. En la práctica, el corrector solo se calcula una vez, y si el valor de yn+1 cambia mucho, se reinicia el problema con un menor paso.
PREGUNTA:
En el método multipasos la predicción es la fórmula de:
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Question3
Puntos: 1
Un valor de una variable que haga que la ecuación sea una proposición verdadera se denomina raíz o solución de la ecuación dada. Decimos que tal valor de la variable satisface la ecuación.
Así por ejemplo x=5 es una raíz de la ecuación 2x – 3 = x + 2
De manera similar y = -2 es la solución de la ecuación y^{2}+3y=6+4yEn álgebra elemental se enseña a resolver este tipo de ecuaciones en especial las ecuaciones lineales y cuadráticas.

La solución de la siguiente ecuación 4(3x+1)=(x+5)^{2} es: 

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Question4
Puntos: 1
Integración Numérica
Cuadratura gaussiana:
Las fórmulas de Trapecios y Simpson utilizan nodos equidistantes y dan valores exactos para polinomios de grado menor o igual que n (n = 1 en el caso de Trapecios y n = 2 en el caso de Simpson).La elección de puntos equidistantes no es la mejor. Puede seleccionarse los puntos de manera que mejore la aproximación.
int 1
La cuadratura gaussiana selecciona los puntos de manera óptima.
El método consiste en seleccionar los nodos x1, x2,..., xn en [a, b] y los coeficientes c1, c2,..., cn que minimicen el error de la aproximación
Reglas de Cuadratura Gaussiana: Consideramos por el momento integrales de la forma
int2
Note que si el integral esta dado en un intervalo arbitrario [a, b] entonces mediante el cambio de variables
int 3
tenemos que
int4
lo cual nos da una integral en [-1,1]. Así que sin pérdida de generalidad podemos asumir que el integral es en [-1,1].
Sean x1, x1,…,xn puntos (no necesariamente uniformemente distribuidos) en [-1,1] y w1, w2,…, wn números llamados pesos ("weights"). Los puntos xj's y los pesos wj's se determinan de modo que la fórmula de integración numérica
int 5
sea exacta para polinomios de grado a lo más 2n-1, i.e., In(p)=I(p) para todo polinomio p de grado a lo más 2n-1. Como In é I sonoperadores lineales, basta verificar que
int6
Caso n=1 : Aquí I1(f)=w1f(x1) y requerimos que I1(1)=I(1), I1(x)=I(x). Pero I(1)=2 y I1(1)=w1 de modo que w1=2. Además I(x)=0 y I1(x)=2x1, de donde obtenemos que x1=0. Tenemos pues la fórmula numérica I1(f)=2f(0) lo cual se conoce como la fórmula del punto medio.
Caso n=2 : Tenemos ahora que I2(f)= w2f(x1)+ w2f(x2) y se requiere que I2(xi)=I(xi) para i=0,1,2,3. Esto nos lleva al siguiente sistema nolineal para x1, x2, w1, w2:
int7
Suponiendo que x1, x2 son conocidas, resolvemos la tercera y cuarta ecuación (que son lineales en los w's) mediante la regla de Cramer para w1, w2 obteniendo así que
int8
Sustituyendo estas expresiones en la primera y segunda ecuación y resolviendo para x1, x2 obtenemos que
int9
Asi que nuestra fórmula numérica en el caso n=2 lee como sigue:
int10
Caso n>2 : Al aplicar las condiciones int11
se obtiene un sistema nolineal de 2n ecuaciones en 2n desconocidas (las x's y las w's). Este sistema se puede resolver numéricamente usando el método de Newton para sistemas nolineales. Pero en lugar de proceder de esta forma se utiliza el hecho de que se puede demostrar que los xi's son los ceros del n-esimo polinomio de Legendre Ln(x). Estos polinomios se definen por la recursión
int12
En particular tenemos que L2(x)= (3/2) x2-(1/2) cuyos ceros son ± 1/ ?3 que fueron los x's que determinamos en el caso n=2. También
int13
de donde podemos obtener los x's para las fórmulas de los casos n=3,4 respectivamente. Teniendo los x's podemos ahora calcular los w's resolviendo un sistema lineal de ecuaciones.
Ejemplo 2 : Aproximamos
int14
usando la regla de cuadratura con n=2. Primero hacemos un cambio de variables de modo que el integral sea en el intervalo de [-1,1]. Para esto usamos el cambio de variables discutido al principio de esta sección lo que resulta en:
int15
Tenemos ahora que
in16
Hay 2n parámetros que elegir. Si los coeficientes de un polinomio se consideran parámetros, un polinomio de grado 2n - 1 también tiene 2n parámetros. Este es el tipo de polinomios de mayor grado para el cual se puede esperar que la solución sea exacta.
PREGUNTA:
Teniendo en cuenta la lectura anterior:
Para el Caso n=1: Aquí I1(f)=w1f(x1) y requerimos que I1(1)=I(1), I1(x)=I(x). Pero I(1)=2 y I1(1)=w1 de modo que w1=2. Además I(x)=0 y I1(x)=2x1, de donde obtenemos que x1=0. Tenemos pues la fórmula numérica I1(f)=2f(0) lo cual se conoce como:
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Question5
Puntos: 1
Diferenciación e Integración Numérica
Diferenciación Numérica
El cálculo de la derivada de una función puede ser un proceso "difícil" ya sea por lo complicado de la definición analítica de la función o por que esta se conoce únicamente en un número discreto de puntos. (Este es el caso si la función representa el resultado de algún experimento). En esta lección estudiaremos técnicas para aproximar las derivadas de una función y veremos el análisis de error de dichas formulas.
Formulas para la primera derivada : La definición de la derivada de una función f(x) en el punto "x" esta dada en términos del límite:
difer1
De esta definición podemos decir que si "h" es pequeño entonces:
difer2
(Note el símbolo de aproximación). Esto nos da inmediatamente la primera formula numérica para aproximar la derivada:
difer3
Antes de ver algunos ejemplos donde usamos esta formula, tratemos de contestar la pregunta de ¿cuán buena es esta aproximación de la derivada? Por el Teorema de Taylor sabemos que:
difer5
donde ?x esta entre x+h. Si despejamos ahora en esta formula por f'(x) y usamos la definición de Dhf(x) tenemos que:
difer6
Esta fórmula nos dice que Dhf(x) aproxima a f'(x) con un error proporcional a "h", i.e., O(h).
Ejemplo 1 : Tomamos f(x)=x9 y queremos aproximar f’(x) cuyo valor exacto es nueve. En la siguiente figura ilustramos los errores ? f’(x) – Dhf(1) Como función de "h" en escala logarítmica.
grafica1
Podemos ver que los errores disminuyen hasta un cierto valor crítico "hmin" luego del cual los errores aumentan según la "h" disminuye. ¿Contradice esto el resultado de arriba de O(h) del error? ¡NO! El resultado de arriba es sobre la convergencia si la aritmética es exacta y se dice que es un resultado asintótico. La figura ilustra los efectos de redondeo debido a la aritmética finita los cuales se hacen significativos para "h" pequeño y pueden afectar cualquier formula numérica para aproximar la derivada. Sin embargo, una formula con un grado de aproximabilidad digamos O(h2) es preferible a una O(h) ya que los errores (teóricos) tienden a cero más rápido y así la "h" no se tiene que hacerse tan pequeña reduciendo así los efectos de los errores por la aritmética finita.
El método de arriba usando la expansión de Taylor se puede utilizar para obtener formulas para aproximar la derivada con un grado de aproximabilidad más alto que uno. Ilustramos esto para la obtención de una formula O(h2). Si en lugar de llegar hasta términos de orden dos, expandimos hasta términos de orden tres en la expansión de Taylor, obtenemos las formulas:
difer7
Si restamos estas dos ecuaciones, despejamos para f'(x), y usamos el teorema del valor medio aplicado a f'''(x) obtenemos la formula:
difer8
donde
difer9
y ? esta entre [x-h, x+h]. Tenemos pues que la formula Dhnf(x) tiene un error proporcional a O(h2).
Ejemplo 2 : Comparamos las dos formulas obtenidas hasta ahora para aproximar f'(x) con el ejemplo de f(x) = x9 para f'(1). Los resultados los presentamos en forma tabulada para distintos valores de h:
h
Dhf(1)
? f ‘ (1) - Dhf(1) ?
Dhn f(1)
? f ‘ (1) – Dhn f(1) ?
0.1
13.5795
4.57948
9.85264
0.852636
0.05
11.0266
2.02656
9.21079
0.210788
0.025
9.95452
0.954519
9.05255
0.0525492
0.0125
9.46337
0.463374
9.01313
0.0131281
Este ejemplo ilustra lo superior de la formula Dhnf(x). Note que cada vez que h se divide entre dos, el error en la formula Dhnf(x) se divide por dos (aproximadamente) mientras que en la formula Dhnf(x) se divide (aproximadamente) por cuatro (¿por qué?).
En forma similar se pueden obtener formulas de orden mayor utilizando expansiones de Taylor que envuelvan x=2h, x=3h, etc. Por ejemplo la expansión
difer11
nos da una formula de orden cuatro para f'(x). Es importante observar que mientras más alto el grado de aproximabilidad de la formula, más suave tiene que ser la función para que dicha aproximación sea valida. Por ejemplo esta formula de orden cuatro requiere que la función tenga cinco derivadas continuas en el intervalo en cuestión mientras que la formula de orden dos requiere únicamente tres derivadas continuas.
Formulas para la segunda derivada : El proceso de arriba se puede usar para obtener formulas para las derivadas de orden mayor de uno de una función f(x). Usamos este proceso para obtener una formula para la segunda derivada. Usando el Teorema de Taylor, podemos escribir las expansiones:
difer17
Sumando estas dos expansiones y despejando para f''(x) obtenemos:
difer18
donde
difer19
Y ? esta entre [x-h, x+h]. Tenemos aquí una formula de orden dos para f"(x).
Ejemplo 3 : Examinamos la formula de arriba en el caso f(x) = x9 y para aproximar f ‘‘(1)=72. Tenemos los resultados: ? f ‘’ (1) - Dh(2) f (1) ?
h
Dh(2)f(1)
? f ‘’(1) - Dh(2)f(1) ?
0.1
74.5368
2.53682
0.05
72.6311
0.63105
0.025
72.1576
0.157566
0.0125
72.0394
0.0393791
Nuevamente se puede ver el factor de cuatro en el error, característico de la convergencia de orden dos.
En forma similar se pueden obtener formulas de orden mayor utilizando expansiones de Taylor que envuelvan x+2h, x+3h, etc. Por ejemplo la expansión
difer20
nos da una formula de orden cuatro para f"(x).
Tomado de mate.uprh.edu/~pnm/notas4061/numdif /numdif.htm.
PREGUNTA:
La fórmula de orden cuatro para f'(x) requiere que la función tenga:
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Question6
Puntos: 1
El numero x= -7/5 es la solución de:
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Question7
Puntos: 1
Un valor de una variable que haga que la ecuación sea una proposición verdadera se denomina raíz o solución de la ecuación dada. Decimos que tal valor de la variable satisface la ecuación.
Así por ejemplo x=5 es una raíz de la ecuación 2x – 3 = x + 2
De manera similar y = -2 es la solución de la ecuación y2 + 3y=6 + 4y
En álgebra elemental se enseña a resolver este tipo de ecuaciones en especial las ecuaciones lineales y cuadráticas.

La solución de la siguiente ecuación 7x-3 = 5- 5(4+x) es: 

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Question8
Puntos: 1
El método de Runge-Kutta de hecho está basado en una aplicación de:
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Question9
Puntos: 1
Un valor de una variable que haga que la ecuación sea una proposición verdadera se denomina raíz o solución de la ecuación dada. Decimos que tal valor de la variable satisface la ecuación.
Así por ejemplo x=5 es una raíz de la ecuación 2x – 3 = x + 2
De manera similar y = -2 es la solución de la ecuación y2 + 3y=6 + 4y
En álgebra elemental se enseña a resolver este tipo de ecuaciones en especial las ecuaciones lineales y cuadráticas.

La solución de la siguiente ecuación 2(x+2)=3(x-6)^{2}
es: 

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Question10
Puntos: 1
Un valor de una variable que haga que la ecuación sea una proposición verdadera se denomina raíz o solución de la ecuación dada. Decimos que tal valor de la variable satisface la ecuación.
Así por ejemplo x=5 es una raíz de la ecuación 2x – 3 = x + 2
De manera similar y = -2 es la solución de la ecuación y^{2}+3y=6+4yEn álgebra elemental se enseña a resolver este tipo de ecuaciones en especial las ecuaciones lineales y cuadráticas.

Una de las soluciones de la siguiente ecuación 6x^{2}+4=10x+48 es: 

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1
Puntos: 1
La ecuación I=(b-a)\frac{f(x_{0})+4f(x_{1})+f(x_{2})}{6}es conocida como:
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Question2
Puntos: 1
Con que método se necesita una sola evaluación de función por paso
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Question3
Puntos: 1
Una de las técnicas más simples para aproximar soluciones de una ecuación diferencial llamada tambien método de las rectas tangentes
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Question4
Puntos: 1
La ecuación ecua 1 es una ecuación del método:
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Question5
Puntos: 1
Usted deberá seleccionar la combinación de dos opciones que responda adecuadamente a la pregunta y marcarla de acuerdo con la siguiente información:
Pregunta:
Dos de la siguientes ecuaciones corresponde al método de Runge Kutta.
1. moulton
2. runge 1
3. runge 2
4. basfourth
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Question6
Puntos: 1
La regla del trapecio o regla trapezoidal es la primera de las fórmulas cerradas de:
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Question7
Puntos: 1
1. La integral imagen 1 es igual a
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Question8
Puntos: 1
Uno de los siguientes no es un método genérico de resolución numérica de ecuaciones diferenciales:
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Incorrecto
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Question9
Puntos: 1
Además de aplicar la regla trapezoidal con segmentos cada vez más finos, otra manera de obtener una estimación más exacta de una integral, es la de usar polinomios de orden superior para conectar los puntos.
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Question10
Puntos: 1
 La ecuación diferencial y’ + y’ ’ ’ - y = x   es una ecuación de orden
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Question11
Puntos: 1
Uno de utilidades del método de Runge Kutta es lograr aproximaciones de: las ecuaciones diferenciales ordinarias:
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Question12
Puntos: 1
 En los cálculos prácticos se emplea, generalmente, la regla de Simpson compuesta, en la que el intervalo de integración [a,b] se divide en un número: 
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Question13
Puntos: 1
El método de Romberg evalúa el integrando en puntos:
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Question14
Puntos: 1
La integral \int_{0}^{1}{e}^{x^{2}}dx es igual a
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Question15
Puntos: 1
En qué nivel el método de Romberg aplica la regla del Trapecio:
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